Il fatto che il nostro pensiero soggettivo e il mondo oggettivo
sono sottoposti alle stesse leggi e quindi, anche,
che in ultima analisi non si possono contraddire
l’un l’altro nei propri risultati, ma essi devono
piuttosto coincidere, governa completamente
il nostro pensiero teoretico nel suo complesso
(Engels).

Il contenuto della matematica “pura” deriva in ultima analisi dal mondo materiale. L’idea che le verità matematiche siano un tipo speciale di sapere innato o di ispirazione divina non regge a un’analisi minimamente seria. La matematica si occupa di relazioni quantitative del mondo reale. I suoi cosiddetti assiomi ci sembrano di per sé evidenti, solo perché sono un prodotto di un lungo periodo di osservazione ed esperienza della realtà. Purtroppo questo fatto sembra sfuggire a molti matematici teorici contemporanei che si illudono pensando che il loro oggetto “puro” di studio non abbia niente a che vedere con il rozzo mondo delle cose reali. Questo è un chiaro esempio delle conseguenze negative di una divisione del lavoro portata ai suoi estremi.

Da Pitagora in poi, le più stravaganti affermazioni sono state fatte sulla matematica, che è stata dipinta come la regina delle scienze, la chiave magica che apre tutte le porte dell’universo. Emancipata da ogni contatto col mondo fisico, la matematica sembrava librarsi verso il cielo, dove avrebbe acquisito un’esistenza divina, liberandosi dall’obbedienza a qualsiasi legge che non fosse dettata da lei stessa. Per questo il grande matematico Henri Poincaré, nei primi anni del secolo, poteva affermare che le leggi della scienza non hanno nessun rapporto col mondo reale, ma rappresentano convenzioni arbitrarie destinate a promuovere una descrizione più comoda e “utile” dei fenomeni corrispondenti. Certi fisici teorici sostengono ora apertamente che la validità dei loro modelli matematici non dipende da verifiche empiriche ma dalle qualità estetiche delle loro equazioni.

Le teorie matematiche sono state, da un lato, fonte di incredibili progressi scientifici e, dall’altro, sono state l’origine di numerosi errori e malintesi che ebbero, e tuttora hanno, conseguenze fortemente negative.

L’errore principale è il tentativo di ridurre il procedere complesso, dinamico e contraddittorio della natura in formule quantitative statiche ed ordinate. La natura è presentata in modo formalistico, come nel caso del punto che diventa una linea monodimensionale, che diventa a sua volta un piano, un cubo, una sfera e così via. Tuttavia, l’idea che la matematica pura sia pensiero assoluto, incontaminata dal contatto con le cose materiali, è ben lontana dal vero. Usiamo il sistema decimale non per deduzione logica o per “libero arbitrio”, ma perché abbiamo dieci dita. Lo stesso termine “digitale” viene dalla corrispondente parola latina. E anche oggi, uno scolaro conterà segretamente le sue dita reali sotto il banco, prima di arrivare alla giusta soluzione di un problema matematico astratto. Così facendo, il ragazzo sta inconsapevolmente ripercorrendo la strada attraverso cui i primi uomini impararono a contare.

Le origini materiali delle astrazioni della matematica non erano un segreto per Aristotele:

Il matematico - scriveva - compie i suoi studi su cose che risultano da astrazione (egli infatti esegue la propria indagine dopo aver eliminato tutto ciò che è sensibile - ad esempio, il peso e la leggerezza, la durezza e il suo contrario, e, ancora, il caldo e il freddo e le altre coppie di contrari sensibili - e lascia solo la quantità e ciò che è continuo o ad una o a due o a tre dimensioni) (...). - E ancora: - È ovviamente impossibile anche l'esistenza di enti matematici separati dagli oggetti sensibili - e - Nessun corpo può essere composto di linee o di superfici o di punti, laddove, se questi fossero una determinata sostanza materiale, noi vedremmo con evidenza corpi capaci di ricevere una siffatta composizione. Le linee, i piani, e così via, nella loro definizione concettuale possono precedere il corpo, ma ciò non comporta che essi lo precedono materialmente.1

Lo sviluppo della matematica è il risultato proprio dei bisogni materiali umani. Gli uomini avevano all’inizio solo dieci parole per indicare i numeri proprio perché contavano sulle dita come i bambini. Le popolazioni Maya del Centroamerica costituiscono un’eccezione perché avevano un sistema in base venti anziché dieci, probabilmente perché contavano anche con le dita dei piedi. Vivendo in una società semplice di cacciatori-raccoglitori, senza denaro né proprietà privata, i nostri antenati non necessitavano di numeri elevati. Per formare un numero maggiore di dieci, era sufficiente combinare alcuni dei dieci suoni che corrispondevano alle dieci dita. Perciò, uno più dieci si dice “un-dici” (undecim, in latino, Ein-lifon - sopra di uno - nell'antico tedesco, che diventa eleven nell'inglese moderno). Tutti gli altri numeri sono semplicemente combinazioni di quelle prime dieci parole, tranne quattro numeri aggiunti: cento, mille, milione, miliardo, ecc.

La vera origine dei numeri era già stata compresa da Thomas Hobbes, grande filosofo materialista inglese del Settecento:

A quanto pare c’è stato un tempo in cui i numeri non avevano un nome e gli uomini erano costretti a porre le dita di una o entrambe le mani sulle cose che volevano contare e da questo è seguito che ora le parole che indicano numeri sono dieci in ogni nazione, e in alcune solo cinque, e poi ricominciano.2

Come spiega Alfred Hooper,

Proprio perché gli uomini primitivi inventarono lo stesso numero di parole equivalenti alle dita che avevano, la nostra scala numerica è di tipo decimale, ovvero basata sul dieci, e consiste di una infinita ripetizione delle prime dieci parole base (…) Se gli uomini avessero avuto dodici dita anziché dieci avremmo avuto senz’altro un sistema duodecimale oggi, basato su una ripetizione delle dodici parole base.3

In effetti, un sistema duodecimale ha certi vantaggi rispetto a quello decimale. Mentre dieci può essere diviso esattamente solo per due e cinque, dodici può essere diviso per due, tre, quattro e sei.

I numeri romani sono una rappresentazione figurata delle dita. Probabilmente il simbolo del cinque rappresentava lo spazio tra il pollice e le altre dita. La parola calcolo deriva dal latino calculus, che significa sasso, il che è connesso al metodo di contare utilizzando le perline dell’abaco. Questi, e innumerevoli altri, esempi mostrano come la matematica non sia venuta fuori da libere elucubrazioni della mente, ma è il prodotto di un lungo processo di evoluzione sociale per prove ed errori, osservazioni ed esperimenti, che gradualmente si è andato staccando dal resto divenendo un corpo di conoscenze separato, di carattere apparentemente astratto.

Allo stesso modo il nostro sistema di pesi e misure trova la sua origine nel mondo materiale. L’origine dell’unità di misura anglosassone “piede” è ovvia, come quella del “pollice”. Lo stesso può dirsi per le varie misure agricole (la “pertica”, ecc.). L’origine dei simboli matematici più elementari, “+” e “–”, non ha niente a che vedere con la matematica pura; essi erano i segni usati dai mercanti del Medioevo per calcolare eccedenze e carenze di merci nei depositi.

La necessità di costruire abitazioni per proteggersi dagli elementi naturali costrinse gli uomini a trovare il metodo più pratico per tagliare pezzi di legno in modo che le sue estremità s’incastrassero bene. Questo portò alla scoperta dell’angolo retto e della squadra del muratore. La necessità di costruire una casa in piano portò all’invenzione di una specie di strumento di livellamento, rappresentato nelle tombe egizie e romane, costituito da tre pezzi di legno uniti in modo da formare un triangolo isoscele, da una corda legata all’apice. Questo semplice e pratico strumento veniva usato per costruire le piramidi. I sacerdoti egizi accumularono un gran numero di conoscenze matematiche derivate alla fine da queste attività pratiche.

La stessa parola “geometria” tradisce la sua origine pratica. Essa significa semplicemente “misura della terra”. Il merito dei greci è stato quello di aver dato una base teorica a queste scoperte pratiche. Tuttavia, presentando questi teoremi come prodotto di deduzioni logiche, essi fuorviarono se stessi e le generazioni a venire. In ultima analisi, la matematica deriva dalla realtà materiale e, effettivamente, non potrebbe avere alcuna applicazione se non fosse così. Lo stesso famoso teorema di Pitagora, noto a ogni studente, che stabilisce che il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti, veniva già utilizzato, come pratica comune, dagli egizi.

Le contraddizioni nella matematica

Engels, e prima di lui Hegel, mise in evidenza le numerose contraddizioni che abbondano in matematica. È stato sempre così, malgrado le pretese di perfezione e l’infallibilità quasi papale difesa dai matematici per la loro “scienza sublime”. Questo costume venne inaugurato dai pitagorici, con la loro concezione mistica del numero e dell’armonia dell’universo. Molto presto, però, scoprirono che il loro armonioso e ordinato universo matematico era affetto da contraddizioni, la cui soluzione li portò allo sconforto. Per esempio scoprirono che era impossibile esprimere la lunghezza della diagonale di un quadrato in numeri naturali.

Gli ultimi pitagorici scoprirono che c’erano molti numeri di questo tipo, come la radice quadrata di due; questo è infatti un “numero irrazionale”. Ma anche se la radice quadrata di due non si può esprimere come frazione, è utile poter calcolare la lunghezza di un lato del triangolo. La matematica contemporanea contiene uno zoo di questi strani animali, ancora non addomesticati nonostante tutti gli sforzi, ma che, una volta che si accettano per quello che sono, rendono notevoli servizi. Così abbiamo i numeri irrazionali, immaginari, trascendentali, transfiniti, tutti dotati di proprietà strane e contraddittorie e tutti indispensabili all’operare della scienza moderna. Il misterioso _ (pi greco) era ben noto agli antichi greci e generazioni di studenti hanno imparato ad identificarlo come il rapporto tra circonferenza e diametro del cerchio. Seppur strano, il suo valore esatto non si può trovare. Archimede aveva calcolato il suo valore approssimato con il metodo detto della “esaustione”. Questo valore era tra 3,14085 e 3,14286. Ma se tentiamo di scrivere il valore preciso, otteniamo questo strano risultato: _ = 3,14159267358979323846264338327950… e così via all’infinito. Pi (_), che oggi è definito un numero trascendentale, è assolutamente necessario per trovare la circonferenza del cerchio, ma non può essere espresso come soluzione di un’equazione algebrica.

Abbiamo poi la radice quadrata di –1 che non è neanche un numero aritmetico. I matematici lo chiamano un “numero immaginario”, dato che nessun numero reale, moltiplicato per se stesso, può dare come risultato –1, poiché meno per meno dà più. Una creatura veramente peculiare, questa, eppure non il frutto dell’immaginazione, a dispetto del suo nome. Nell’Anti-Dühring, Engels fa notare che

È una contraddizione che una grandezza negativa debba essere il quadrato di qualche cosa: infatti ogni grandezza negativa, moltiplicata per se stessa, dà un quadrato positivo. La radice quadrata di meno uno, quindi, non solo è una contraddizione assurda, un vero controsenso. E tuttavia _–1 è un risultato in molti casi necessario di operazioni matematiche esatte; anzi c'è di più: dove sarebbe la matematica, sia elementare che superiore se fosse interdetto di operare con _–1?4

L’osservazione di Engels è ancor più giusta oggi. Questa combinazione contraddittoria di più e meno gioca un ruolo assolutamente cruciale nella meccanica quantistica, dove appare in una grossa serie di equazioni, fondamentali per la scienza moderna.

Che queste parti della matematica comportino allarmanti contraddizioni è fuori dubbio. Ecco che cosa Hoffman ha da dire in proposito:

Che una tale formula abbia una qualsiasi connessione col mondo dell’esperimento stretto che è quello della fisica è in sé difficile da credere. Che questo dovesse essere il fondamento profondo della nuova fisica, e che abbia penetrato, più profondamente che qualsiasi cosa prima, il nucleo centrale della scienza e della metafisica risulta incredibile come doveva una volta sembrare la dottrina della sfericità della Terra.5

Al giorno d’oggi, l’uso dei numeri cosiddetti “immaginari” è dato per scontato. La radice quadrata di meno uno è usata per molte operazioni necessarie, come la costruzione di circuiti elettrici. I numeri transfiniti, a loro volta, sono necessari per capire la natura del tempo e dello spazio. La scienza moderna, e in particolare la meccanica quantistica, non potrebbe procedere senza l’uso di concetti matematici che hanno un carattere palesemente contraddittorio. Paul Dirac, uno dei fondatori della meccanica quantistica, scoprì i numeri “Q” i quali negano la legge dell’aritmetica ordinaria che considera a moltiplicato b come la stessa cosa di b moltiplicato per a.

Esiste l’infinito?

L’idea di infinito sembra difficile da afferrare, perché a prima vista va oltre ogni esperienza umana. La mente umana è abituata a trattare solo cose finite, riflesse in idee finite. Ogni cosa ha un inizio e una fine; è un pensiero familiare. Ma ciò che è familiare non è necessariamente vero. La storia del pensiero matematico ha qualche lezione molto istruttiva a riguardo. Per molto tempo i matematici, almeno in Europa, cercarono di bandire il concetto di infinito. Le ragioni per farlo erano abbastanza ovvie; oltre l’evidente difficoltà di concettualizzare l’infinito, in termini puramente matematici esso comporta una contraddizione; la matematica tratta grandezze definite, mentre l’infinito per la sua natura intrinseca non può essere contato o misurato. Questo significa che c’è un vero conflitto tra i due. Per questa ragione, i grandi matematici dell’antica Grecia evitarono l’infinito come la peste. Ciononostante, dagli albori della filosofia, gli uomini hanno ragionato sull’infinito. Anassimandro (610-547 a.C.) lo prese a fondamento della propria filosofia.

I paradossi di Zenone (450 a.C. circa) s’incentrano sulla difficoltà inerente all’idea di quantità infinitesime come costituenti di grandezze continue, cercando di dimostrare che il moto è un’illusione. Zenone “confutò” il moto in vari modi; sostenne che un corpo in movimento, prima di giungere in un certo punto, deve prima percorrere metà della distanza data. Ma prima di ciò deve percorrere metà di questa metà e così via. Così, se due corpi si muovono nella stessa direzione a una certa distanza l’uno dall’altro e quello che segue si muove più velocemente di quello che precede, noi deduciamo che a un certo punto lo supererà. Non è così per Zenone: “Il più lento non potrà mai essere superato dal più veloce”.

Questo è il famoso paradosso del “piè veloce Achille”. Immaginiamo una corsa tra Achille e una tartaruga. Supponiamo che Achille corra dieci volte più veloce della tartaruga, che ha mille metri di vantaggio. Nel tempo in cui Achille ha percorso questi mille metri, la tartaruga avrà percorso cento metri. Quando Achille avrà varcato il traguardo di questi cento, la tartaruga si sarà spinta più in là di altri dieci metri. Quando Achille sarà balzato a tale distanza essa sarà ancora un metro avanti e così via all’infinito. I paradossi di Zenone non provano che il movimento è un’illusione, o che Achille in pratica non supererà la tartaruga, ma mostrano brillantemente i limiti del modo di pensare ora conosciuto come logica formale. Il tentativo di eliminare ogni contraddizione dalla realtà, come fecero gli eleatici, porta inevitabilmente a questi insolubili paradossi, o antinomie, come Kant le definì successivamente. Per provare che una linea non può essere costituita da un numero infinito di punti, Zenone sostenne che, se fosse così, Achille non avrebbe mai potuto superare la tartaruga. C’è davvero un problema logico. Come spiega Alfred Hooper:

Questo paradosso lascia ancora perplessi anche quelli che sanno come sia possibile trovare la somma di una serie infinita di numeri che formano una progressione geometrica il cui coefficiente è minore di 1, e i cui termini divengono conseguentemente sempre più piccoli e quindi “convergono” a qualche valore limite.6

Di fatto, Zenone aveva scoperto una contraddizione nel pensiero matematico che dovette aspettare duemila anni prima di avere soluzione. La contraddizione è legata all’uso dell’infinito. Da Pitagora fino alla scoperta del calcolo differenziale e integrale nel diciassettesimo secolo, i matematici fecero di tutto per evitare l’uso del concetto di infinito. Solo Archimede, col suo grande genio, affrontò l’argomento, ma anche lui evitò il concetto usando un metodo indiretto. I primi atomisti, a cominciare da Leucippo, che fu probabilmente un allievo di Zenone, asserirono che gli atomi, “indivisibili e infiniti, si muovono incessantemente nello spazio vuoto di estensione infinita”.

La fisica moderna accetta che il numero di istanti tra due secondi è infinito, come il numero di istanti di un lasso di tempo che non ha inizio né fine. L’universo stesso consiste di una catena infinita di cause ed effetti, che mutano senza sosta, muovendosi e sviluppandosi. Questo non ha nulla a che fare con la rozza e unilaterale visione di infinito contenuta nelle serie infinite di numeri dell’aritmetica semplice, in cui l’“infinito” “comincia” sempre con il numero uno! È quello che Hegel chiamava “cattivo infinito”.

Il più grande matematico greco Archimede (287-212 a.C.) fece effettivamente uso di indivisibili in geometria, ma considerò l’idea di infinitamente grande e infinitamente piccolo senza fondamento logico. Allo stesso modo, Aristotele sostenne che, dato che un corpo deve avere forma, deve essere limitato e dunque non può essere infinito. Pur accettando che c’erano due tipi di “potenziali” infiniti - addizioni successive in aritmetica (infinitamente grande), e divisioni successive in geometria (infinitamente piccolo) - polemizzò contro i teorici della geometria che ritenevano un segmento composto da molti infinitesimi fissi, o indivisibili.

Questo rifiuto dell’infinito costituì una barriera potente allo sviluppo della matematica classica greca. Per contrasto, i matematici indiani non ebbero queste remore e fecero grandi passi avanti che, attraverso gli arabi, arrivarono in Europa successivamente.

Il tentativo di bandire le contraddizioni dal pensiero, in accordo con lo schema rigido della logica formale, arrestò lo sviluppo della matematica. Ma lo spirito di rinnovamento del Rinascimento aprì le menti a nuove possibilità, che erano in verità infinite. Nel suo libro La nuova scienza (1638), Galileo fece notare che ogni numero intero ha un solo quadrato e che ogni quadrato perfetto è il quadrato di un solo numero intero positivo. Così abbiamo in un certo senso tanti quadrati quanti numeri interi. Questo ci conduce immediatamente a una contraddizione logica. Ciò infatti contraddice l’assioma che l’insieme totale è maggiore di ognuna delle sue parti, dato che non tutti i numeri interi sono quadrati di altri numeri interi e l’insieme dei quadrati perfetti è parte dell’insieme dei numeri interi.

Questo è solo uno dei tanti paradossi che hanno investito la matematica dal Rinascimento quando gli uomini cominciarono a sottoporre i propri pensieri e le proprie assunzioni a un’analisi critica. Di conseguenza, lentamente e contro la resistenza accanita delle menti conservatrici, uno ad uno gli assiomi supposti inattaccabili, le “verità eterne” della matematica, sono state rovesciate. Siamo arrivati al punto in cui l’intero edificio si è mostrato inadeguato e bisognoso di una ricostruzione complessiva su fondamenta più solide ma più flessibili; queste fondamenta si stanno già ponendo e avranno inevitabilmente un carattere dialettico.

Il calcolo differenziale e integrale

Molti di quelli che si chiamano assiomi della matematica classica greca erano già stati screditati dalla scoperta del calcolo differenziale e integrale, il più grande progresso della matematica dal Medioevo. È un assioma in geometria che linee rette e curve sono totalmente opposte e non sono commensurabili, ovvero, una non può essere espressa nei termini dell’altra. Eppure, in ultima analisi, curve e linee rette per il calcolo differenziale sono considerate uguali. Come Engels fece notare, la base di questo venne posta molto tempo prima che fosse elaborato da Leibniz e Newton:

Il punto critico nella matematica fu la grandezza variabile di Descartes. Con essa il movimento e con essa la dialettica nella matematica e con essa anche subito, necessariamente, il calcolo differenziale e integrale, che anch'esso subito ha inizio, e che viene non inventato, ma completato nelle sue grandi linee, da Newton a Leibniz.7

La scoperta di questo calcolo aprì tutta una serie di nuovi orizzonti per la matematica e la scienza in generale. Una volta che i vecchi tabù e i divieti vennero eliminati, i matematici furono liberi di ricercare in nuove aree. Tuttavia essi fecero uso di numeri infinitamente grandi e piccoli in modo acritico, senza considerare le implicazioni logiche e concettuali. L’uso dell’infinitamente piccolo e di quantità grandissime venne considerato come una “finzione utile” che, per qualche ragione per niente chiara, dava sempre risultati corretti. Nel capitolo sulla Quantità nel primo volume della Scienza della Logica Hegel nota che, sebbene l’introduzione dell’infinito matematico aprisse nuovi orizzonti per questa disciplina, e conducesse a importanti risultati, esso rimase senza spiegazione, perché cozzava con metodi e tradizioni esistenti:

Ma nel metodo del suo infinito essa [la matematica] trova la contraddizione capitale nel metodo particolare stesso sul quale, come scienza, in generale riposa. Poiché il calcolo dell'infinito permette e richiede procedimenti che nelle operazioni con grandezze finite la matematica deve assolutamente rigettare, mentre tratta poi le sue grandezze infinite come quanti finiti e vuole applicare a quelle i medesimi procedimenti che valgon per questi.8

Il risultato è stato un lungo periodo di controversie concernenti la validità del calcolo differenziale. Berkeley denunciò l’aperta contraddizione con le leggi della logica. Newton, che fece uso del nuovo metodo nei Principia, si sentì obbligato a nascondere il fatto al pubblico, per paura di reazioni negative. All’inizio del diciottesimo secolo, Bernard Fontenelle ebbe finalmente il coraggio di asserire categoricamente che, poiché ci sono infiniti numeri naturali, esistono i numeri infiniti proprio come quelli finiti, e che il reciproco dell’infinito è l’infinitesimo. Tuttavia egli venne contraddetto da Georges de Buffon, che rigettò l’infinito come mera illusione. Anche la grande mente di D’Alembert non fu capace di accettare questa idea. Nella definizione del differenziale sulla sua Enciclopedia, negò l’esistenza dell’infinito, tranne nel senso negativo di limite per quantità finite.

Il concetto di “limite” venne in effetti introdotto nel tentativo di aggirare la contraddizione inerente all’infinito. Esso fu grandemente popolare nel diciannovesimo secolo, quando i matematici non erano più disposti ad accettare semplicemente il calcolo differenziale senza una riflessione, come invece avevano fatto i loro predecessori. Il calcolo differenziale postulava l’esistenza di grandezze infinitamente piccole di vari ordini: il differenziale primo, il differenziale secondo e così via all’infinito. Introducendo il concetto di “limite” essi crearono almeno l’apparenza che non si trattava di un vero infinito. L’intenzione era di considerare l’infinito un concetto soggettivo, per negare la sua oggettività. Le variabili venivano definite potenzialmente infinitamente piccole; così facendo esse diventavano più piccole di qualsiasi data quantità, così come il potenzialmente infinito che diventava più grande di ogni quantità data. In altre parole “grandi e piccoli a piacere”! Questo gioco di prestigio non eliminò le difficoltà, semplicemente fornì una foglia di fico per coprire le contraddizioni logiche implicite nel calcolo differenziale.

Il grande matematico tedesco Karl Friedrich Gauss (1777-1855) era disposto ad accettare l’infinito matematico, ma si scandalizzava all’idea di un infinito reale. Tuttavia, il suo contemporaneo Bernhard Bolanzo, partendo dai paradossi di Galileo, cominciò un approfondito studio dei paradossi impliciti nell’idea di un “infinito completo”. Questo lavoro venne sviluppato ancora da Richard Dedekind (1813-1914) che caratterizzò l’infinito come qualcosa di positivo, e notò che di fatto l’insieme dei numeri positivi può essere considerato come negativo (ovvero come un insieme che non è infinito). Alla fine, George Cantor (1845-1918) andò ben oltre la definizione di insiemi infiniti e sviluppò un’aritmetica completamente nuova definita dei “numeri transfiniti”. Gli scritti di Cantor, a partire dal 1870, sono un’analisi dell’intera storia dell’infinito a partire da Democrito. Da questo essi svilupparono un intero nuovo filone della matematica basato sulla teoria degli insiemi. Cantor mostrò che i punti in un’area, per quanto grande, o in un volume o in un continuo con anche più dimensioni, possono essere rapportati ai punti su un segmento, non importa quanto piccolo. Come non ci può essere un ultimo numero finito, così non ci può essere un ultimo numero transfinito. Così, dopo Cantor, non ci possono essere obiezioni sul fatto che l’infinito occupa un posto centrale nella matematica. Inoltre il suo lavoro ha rivelato una serie di paradossi che hanno tormentato la matematica moderna e non sono ancora stati risolti.

Tutta l’analisi scientifica moderna si basa sul concetto di continuità, ovvero sul fatto che tra due punti nello spazio ci sono un numero infinito di altri punti e anche che tra due punti nel tempo ci sono un numero infinito di altri momenti. Senza fare queste assunzioni la matematica moderna semplicemente non potrebbe funzionare. Eppure questi concetti così contraddittori sarebbero stati rigettati con sdegno, o almeno guardati con sospetto, dalle generazioni precedenti. Solo lo spirito dialettico di Hegel (per inciso un grande matematico) fu capace di anticipare tutta questa analisi di finito e infinito, spazio, tempo e movimento.

Ma, nonostante ogni evidenza, molti matematici moderni persistono nel negare l’oggettività dell’infinito pur accettandone la validità come fenomeno della matematica “pura”. Questa divisione non ha assolutamente senso. Se infatti la matematica non fosse in grado di riflettere il mondo reale e oggettivo, a cosa servirebbe? C’è una certa tendenza nella matematica moderna (e, per estensione, addirittura nella fisica teorica) al ritorno all’idealismo nella sua forma più mistica, sostenendo che la validità di un’equazione è puramente una questione di valore estetico, senza riferimento al mondo reale.

Il fatto che le operazioni matematiche si possono applicare al mondo reale ottenendo risultati sensati indica che c’è un’affinità tra i due. Altrimenti, la matematica non avrebbe applicazioni pratiche, come invece chiaramente accade. La ragione per cui l’infinito può e deve essere usato nella matematica moderna è che esso esiste in natura, che si è imposta alla matematica, come un ospite non invitato, nonostante tutti gli sforzi per sbarrargli la porta. La ragione per cui la matematica ci ha messo così tanto tempo per accettare l’infinito venne spiegato molto bene da Engels:

È chiaro che l'infinità che ha una fine, ma non ha un principio, non è né più né meno infinita di quella che ha un principio ma non ha una fine. L'intuito dialettico più modesto avrebbe dovuto dire al sig. Dühring che principio e fine sono necessariamente legati l'uno all'altro, come il polo nord e il polo sud, che, se si omette la fine, il principio diventa precisamente la fine, l'unica fine che la serie ha, e viceversa. Tutta l'illusione sarebbe impossibile senza la consuetudine propria della matematica di operare con serie infinite. Poiché nella matematica si deve partire dal determinato, dal finito, per arrivare all'indeterminato, all'infinito, tutte le serie matematiche, positive o negative, devono cominciare da uno, altrimenti sarebbe impossibile servirsene per calcolare. Ma l'esigenza ideale del matematico è molto lontana dall'essere una legge obbligatoria per il mondo reale.9

Crisi nella matematica

Sin dai banchi di scuola ci hanno insegnato a considerare la matematica, con le sue verità evidenti, gli “assiomi”, e le sue deduzioni logiche rigorose, come l’ultima parola in tema di esattezza scientifica. Nel 1900, tutto questo sembrava sicuro, sebbene al congresso internazionale dei matematici tenuto quell’anno, David Hilbert presentò una lista dei ventitré più significativi problemi matematici irrisolti. Da allora le cose si sono molto più complicate, al punto che è possibile parlare di una vera crisi nella matematica teorica. Nel suo libro ampiamente diffuso Mathematics: The Loss of Certainty (Matematica: la perdita della certezza), pubblicato nel 1980, Morris Klein descrive così la situazione:

Le strane geometrie e strane algebre, creazioni dell’inizio del diciannovesimo secolo, costrinsero i matematici, sebbene riluttanti e a malincuore, a capire che la matematica vera e propria e le sue leggi di scienza non erano verità assolute. Per esempio essi trovarono che varie geometrie, diverse tra loro, si adattano all’esperienza spaziale altrettanto bene. Non potevano essere tutte verità. A quanto pareva il modello matematico non era intrinseco alla natura o, se lo era, la matematica dell’uomo non era necessariamente il riflesso di questo modello. Si era persa la chiave d’interpretazione della realtà. La comprensione di ciò è stata la prima calamità che si è abbattuta sulla matematica.

La realizzazione di queste nuove geometrie e algebre mise di nuovo e in un diverso modo in crisi i matematici. La convinzione che stessero scoprendo delle verità li aveva incantati a tal punto da spingerli a difenderle strenuamente a scapito di un sano modo di ragionare. La comprensione che la matematica non era un corpo di verità eterne scosse la loro fiducia in ciò che avevano creato ed essi cominciarono a riesaminare le loro creazioni. Rimasero attoniti nel rilevare che la logica della matematica era in questa ben triste situazione.

All’inizio del ventesimo secolo, si misero all’opera per cercare di risolvere i problemi insoluti, rimuovere le contraddizioni ed elaborare un nuovo e inattaccabile sistema matematico. Come spiega Klein:

Verso la fine del secolo scorso i matematici credettero di aver raggiunto il proprio scopo. Sebbene dovessero accontentarsi di una matematica che fosse una descrizione approssimata della natura e molti avessero abbandonato l’idea del modello matematico della natura, pure si compiacevano della loro ricostruzione della struttura logica della matematica. Ma, prima che avessero finito di brindare al presunto successo, vennero scoperte delle contraddizioni nella matematica appena ristrutturata. Comunemente queste contraddizioni venivano definite paradossi, un eufemismo che evita di affrontare il fatto che le contraddizioni viziano la logica della matematica.

La soluzione delle contraddizioni venne intrapresa quasi subito dai maggiori matematici e filosofi del tempo. In effetti vennero concepiti, formulati e proposti quattro diversi approcci alla matematica, ciascuno sostenuto da molti aderenti. Tutte queste scuole, la cui dottrina faceva riferimento ai fondamenti, tentavano non solo di risolvere le contraddizioni note, ma volevano anche assicurare che nuove contraddizioni non potessero nemmeno comparire, ovvero volevano rifondare la matematica su basi coerenti. Altri problemi sorsero negli sforzi di fondazione. L’accettabilità di qualche assioma e principio di logica deduttiva divenne anch’esso oggetto di contesa su cui le scuole avevano posizioni differenti.

Il tentativo di eliminare le contraddizioni dalla matematica condusse solo a nuove e insolubili contraddizioni. Il colpo finale venne inferto nel 1930 quando Kurt Gödel pubblicò i suoi famosi teoremi che provocarono una crisi, rimettendo in gioco anche i metodi fondamentali della matematica classica:

Fino al 1930 un matematico poteva forse accontentarsi di accettare una o l’altra delle molte fondazioni della matematica e dichiarare che queste prove matematiche erano almeno in accordo con i princìpi della scuola. Ma sopraggiunse un altro disastro nella forma di un famoso scritto di Kurt Gödel nel quale egli provò, tra gli altri significativi e fastidiosi risultati, che i princìpi logici accettati dalle varie scuole non potevano provare la coerenza della matematica. Questo, dimostrò Gödel, non può essere ottenuto senza utilizzare princìpi logici così dubbi da mettere in discussione quello che si era raggiunto.

Il teorema di Gödel provocò una débâcle. Gli sviluppi successivi portarono a ulteriori complicazioni. Per esempio, anche il metodo assiomatico-deduttivo così altamente considerato nel passato come unico approccio alla conoscenza esatta mostrò le sue crepe. L’effetto finale di questi ultimi sviluppi fu di aumentare la varietà dei possibili approcci matematici e di dividere i matematici in un numero ancora più vasto di fazioni.10

L’impasse della matematica ha prodotto diverse correnti e scuole, nessuna delle quali accetta le teorie delle altre. Ci sono i platonici (ebbene sì), che considerano la matematica come una verità assoluta (“Dio è un matematico”). Ci sono i concettualisti, la cui concezione della matematica è completamente differente dai platonici, ma è solo la differenza tra l’idealismo oggettivo e quello soggettivo. Essi vedono la matematica come una serie di strutture, modelli e simmetrie che le persone hanno inventato per propri scopi… in altre parole, la matematica non ha basi oggettive, ma è puramente il prodotto della mente umana! A quanto pare questa teoria trova parecchi consensi in Gran Bretagna.

Abbiamo poi la scuola formalista, creata all’inizio del secolo, con il compito specifico di eliminare le contraddizioni dalla matematica. David Hilbert, uno dei fondatori della scuola, vedeva nella matematica nient’altro che una manipolazione di simboli che seguivano regole specifiche per produrre un sistema di asserzioni tautologiche, aventi coerenza interna, ma senza altro significato. Qui la matematica è ridotta a un gioco intellettuale, come gli scacchi, ancora, con un approccio totalmente soggettivo.

La scuola intuizionista è altrettanto determinata a separare la matematica dalla realtà oggettiva. Una formula matematica, secondo questi, non deve rappresentare niente che esista indipendentemente dall’atto del calcolo in sé. Questo è stato paragonato al tentativo di Bohr di usare le scoperte della meccanica quantistica per introdurre nuove visioni sulle quantità fisiche e matematiche come separate dalla realtà oggettiva.

Tutte queste scuole hanno in comune un approccio interamente idealista alla matematica. L’unica differenza è che i neoplatonici sono idealisti oggettivi, che pensano che la matematica si origini nella mente di Dio, mentre gli altri - intuizionisti, formalisti e concettualisti - credono che la matematica sia una creazione soggettiva della mente umana priva di ogni significato oggettivo. Questo è dunque il triste spettacolo presentato dalle principali scuole matematiche nell’ultimo decennio del secolo. Ma questa non è la fine della storia.

Caos e complessità

Negli ultimi anni, le limitazioni dei modelli matematici per esprimere il vero operare della natura sono state oggetto di intensa discussione. Le equazioni differenziali, per esempio, rappresentano la realtà come un continuum, nel quale i cambiamenti di tempo e di luogo accadono dolcemente e senza discontinuità. Non c’è posto qui per fratture improvvise e cambiamenti qualitativi, eppure in natura queste cose accadono. La scoperta del calcolo differenziale e integrale nel diciottesimo secolo rappresentò un grande passo avanti. Ma anche il modello matematico più avanzato è solo una rozza approssimazione della realtà, valido solo entro certi limiti. Il recente dibattito su caos e anticaos si è incentrato in quelle aree che riguardano rotture nella continuità, bruschi cambiamenti “caotici” che non possono essere adeguatamente espressi dalle formule della matematica classica.

La differenza tra ordine e caos ha a che vedere con relazioni lineari e non lineari. Una relazione lineare è facile da descrivere matematicamente; si può esprimere, in una forma o nell’altra, in un grafico come una linea continua. La matematica può essere complessa, ma la soluzione si può calcolare e prevedere. Una relazione non lineare, invece, non si può risolvere semplicemente con la matematica; non si può esprimere graficamente con una linea. Le relazioni non lineari sono state sempre difficili o impossibili da risolvere e sono state spesso accantonate come errori sperimentali. Parlando del noto esperimento con il pendolo, James Gleick scrive che la regolarità vista da Galileo era solo un’approssimazione. Il cambiamento dell’angolo di movimento del corpo crea una leggera non linearità nelle equazioni. Per ampiezze piccole, l’errore è insignificante, ma c’è. Per ottenere i suoi risultati "puri", Galileo dovette anche trascurare le non linearità che già conosceva: attrito e resistenza dell’aria.

Molta parte della meccanica classica è costruita attorno a relazioni lineari che sono astratte dalla vita reale come leggi scientifiche. Essendo il mondo reale governato da relazioni non lineari, queste leggi sono spesso nient’altro che approssimazioni che vengono costantemente migliorate attraverso la scoperta di “nuove” leggi. Queste leggi sono modelli matematici, costruzioni teoriche la cui sola giustificazione sta nella capacità di approfondimento che danno e nella loro utilità nel controllare le forze naturali.

Negli ultimi venti anni la rivoluzione nella tecnologia informatica ha trasformato la situazione rendendo accessibile la matematica non lineare. Questo ha consentito, in molte facoltà e centri di ricerca, piuttosto separati tra loro, a matematici e ad altri scienziati di fare calcoli per sistemi “caotici” che non si potevano fare in passato.

Il libro Caos, la nascita di una nuova scienza di James Gleick descrive come i sistemi caotici sono stati esaminati da diversi ricercatori usando modelli matematici molto differenti, eppure tutti gli studi sono giunti alla stessa conclusione: c’è “ordine” in ciò che prima si pensava fosse puro “disordine”. La storia comincia con studi su modelli meteorologici, in una simulazione al computer fatta da un meteorologo americano, Edward Lorenz. Usando all’inizio dodici e dopo solo tre variabili in rapporti non lineari, Lorenz riuscì a produrre nel suo computer una serie di condizioni in continuo cambiamento, ma che non ripeteva mai le stesse condizioni. Usando regole matematiche relativamente semplici aveva creato il “caos”.

Iniziando con un parametro qualunque scelto da Lorenz, il computer ripeteva meccanicamente gli stessi calcoli centinaia di volte, senza mai ottenere lo stesso risultato. Questa “aperiodicità” (ovvero l’assenza di un ciclo regolare) è caratteristica di tutti i sistemi caotici. Allo stesso tempo, Lorenz notò che, sebbene i risultati fossero sempre differenti, c’era almeno l’accenno a schemi che si ripetevano con frequenza: condizioni che si approssimavano a quelle osservate prima, sebbene non fossero esattamente le stesse. Questo corrisponde, naturalmente, all’esperienza che ognuno di noi ha del tempo reale, a confronto con quello simulato al computer; ci sono degli “schemi” ma non ci sono due giorni o due settimane del tutto uguali.

Anche altri scienziati scoprirono “schemi” in sistemi apparentemente caotici, in campi così diversi come lo studio delle orbite galattiche e la rappresentazione matematica di oscillatori elettronici. In questi ed altri casi, Gleick nota, c’era “l’emergere di una struttura all’interno di un comportamento apparentemente casuale”. Diventava sempre più evidente che i sistemi caotici non erano necessariamente instabili o a durata indefinita. La ben nota macchia rossa visibile sulla superficie del pianeta Giove è un esempio di un sistema permanentemente caotico ma stabile. Inoltre, è stata simulata con studi al computer e modelli sperimentali. Così, “un sistema complesso può dar luogo a turbolenze e coesione nello stesso tempo”.

Intanto, altri scienziati usavano differenti modelli matematici per studiare fenomeni apparentemente caotici in biologia. Uno in particolare, Robert May, fece uno studio matematico sui cambiamenti della popolazione in diverse condizioni. Variabili standard note ai biologi venivano usate insieme a relazioni calcolate al computer che erano, come sarebbero in natura, non lineari. Questa non linearità potrebbe corrispondere, per esempio, a una caratteristica unica della specie che potrebbe definirla come una tendenza al riprodursi, la sua “capacità di sopravvivenza”.

Questi risultati vennero espressi su un grafico che riportava l’ampiezza della popolazione sull’asse verticale, e il valore delle componenti non lineari sull’asse orizzontale. Si trovò che come la non linearità diventava più rilevante, aumentando quel particolare parametro, così la popolazione prevista attraversava numerose fasi distinte. Sotto un certo livello cruciale, non ci sarebbe una popolazione in grado di sostenersi e, qualsiasi fosse il punto di partenza, l’estinzione sarebbe il risultato inevitabile; la linea sul grafico semplicemente seguiva un percorso orizzontale che corrispondeva a popolazione zero. La fase successiva era una condizione stazionaria, rappresentata graficamente da una curva ascendente. Questa è l’equivalente della popolazione stabile, a un livello che dipendeva dalle condizioni iniziali.

Nella fase successiva c’erano due popolazioni differenti ma fisse, due condizioni stazionarie. Questa situazione veniva rappresentata nel grafico come una ramificazione, una “biforcazione”. Sarebbe l’equivalente nella popolazione reale di una oscillazione regolare periodica, in un ciclo biennale. Quando il grado di non linearità cresceva di nuovo, c’era un rapido incremento delle biforcazioni, dapprima fino al punto che corrispondeva a quattro stadi stazionari (ovvero un ciclo regolare di quattro anni) e dopo, molto velocemente, divenne in successione di 8, 16, 32 e così via.

Dunque, con una ridotta variabilità nel valore dei parametri non lineari, si sviluppava una situazione che, per ogni scopo pratico, non aveva stato stazionario o periodicità riconoscibile; la popolazione era diventata “caotica”. Venne anche trovato che se la non linearità veniva ulteriormente incrementata attraverso la fase “caotica”, c’erano periodi in cui ritornavano apparenti stati stazionari, basati su cicli di 3 o 7 anni, ma in ogni caso quando la non linearità cresceva, questo conduceva ad altre biforcazioni che rappresentavano cicli di 6, 12, 24 anni o, nell’altro caso, di 14, 28 e 56 anni. Così, con precisione matematica, era possibile modellare un passaggio dalla stabilità, con un solo stato stazionario o un comportamento periodico regolare, a uno stato che era, per ogni scopo di misurazione, casuale o aperiodico.

Questo potrebbe indicare una possibile risoluzione al dibattito nel campo della scienza della popolazione tra i teorici che credono che le variazioni imprevedibili della popolazione siano un’aberrazione della “regola dello stato stazionario” e quelli che credono che lo stato stazionario sia un’aberrazione della “regola del caos”. Queste diverse interpretazioni possono sorgere perché i vari ricercatori hanno preso praticamente una singola “fetta” verticale del grafico, corrispondente ad un solo particolare valore della non linearità. In questo modo, una specie potrebbe avere una popolazione che oscilla periodicamente, oppure è stazionaria, mentre altre specie potrebbero mostrare variabilità caotica. Questi sviluppi in biologia sono un’altra indicazione, come spiega Gleick, che “il caos è stabile, è strutturato”. Si inizia a scoprire simili risultati in una vasta gamma di fenomeni diversi. “Il caos deterministico è stato trovato nel registro delle epidemie di morbillo di New York e nelle fluttuazioni nella popolazione di linci in Canada negli ultimi due secoli, come è stato annotato dai cacciatori della Hudson’s Bay Company”. In tutti questi casi di processi caotici, emerge un certo “raddoppiamento di periodo” che è la caratteristica di questo particolare modello matematico.

I frattali di Mandelbrot

Un altro pioniere della teoria del caos, Benoit Mandelbrot, matematico dell’Ibm, ha utilizzato ancora un’altra tecnica matematica. In qualità di ricercatore dell’azienda, egli ricercò, e trovò, “schemi” in una grande varietà di processi naturali “casuali”. Trovò, per esempio, che il rumore di fondo, che è sempre presente nelle trasmissioni telefoniche, segue un modello che è completamente imprevedibile, o caotico, ma è cionondimeno definibile matematicamente. Usando un computer all’Ibm, Mandelbrot fu in grado di produrre sistemi caotici per via grafica, usando le più semplici regole matematiche. Queste figure, conosciute come gli “insiemi di Mandelbrot”, mostrano una complessità infinita e quando un disegno del computer viene ingrandito per mostrare i dettagli più piccoli, l’enorme varietà, apparentemente senza limiti, continua.

È stato detto che gli insiemi di Mandelbrot sono gli oggetti o modelli matematici forse più complessi mai visti. Ma anche in questo caso hanno comunque una struttura riconoscibile. Aumentando senza sosta la scala e osservando dettagli sempre più piccoli (cosa che il computer poteva fare senza limiti perché tutta la struttura era basata su un dato insieme di regole matematiche) si poteva osservare che c’erano ripetizioni regolari, similarità, a scale diverse. Il “grado di irregolarità” era la stessa a scale diverse. Mandelbrot usò l’espressione “frattale” per descrivere la struttura evidente nell’irregolarità. Egli costruì una varietà di forme frattali, modificandone leggermente le regole matematiche. Fu così in grado di produrre al computer una simulazione di una costa che, a qualsiasi scala (a qualsiasi ingrandimento) mostra sempre lo stesso grado di “irregolarità” o “rugosità”.

Mandelbrot confrontò il suo sistema indotto via computer con esempi tratti dalla geometria, che avevano anch’essi forma di frattali, ripetendo lo stesso schema sempre uguale per ogni scala. Nella cosiddetta spugna di Menger, per esempio, la superficie interna tende ad infinito, mentre il volume reale del solido tende a zero. Qui è come se il grado di irregolarità corrispondesse all’“efficienza” della spugna nell’occupare lo spazio. Questo non dovrebbe sembrare poi così azzardato, perché, come mostrò Mandelbrot, ci sono molti esempi di geometria dei frattali in natura. La ramificazione della trachea che va a formare due bronchioli e la loro ramificazione successiva giù fino al livello del più piccolo passaggio d’aria nei polmoni si conforma ad una struttura che risulta frattale. Allo stesso modo si può mostrare che è frattale la ramificazione dei vasi sanguigni. In altre parole, c’è una “autosimilarità”, un modello geometrico che si ripete nella ramificazione, qualunque sia la scala esaminata.

Gli esempi di geometria frattale in natura sono senza fine e nel suo libro La geometria frattale della natura Mandelbrot tentò di dimostrare proprio questo. È stato trovato che lo spettro del periodo del normale battito cardiaco segue una legge frattale, forse a causa della natura frattale delle fibre nervose nel muscolo cardiaco. Lo stesso è vero nei rapidi movimenti involontari dell’occhio che sono un sintomo di schizofrenia. Così, la matematica frattale è ora usata correntemente in una varietà di campi scientifici, tra cui la fisiologia e discipline così distanti tra loro come la sismologia e la metallurgia.

Altre indicazioni delle basi deterministiche del caos sono state mostrate negli studi delle transizioni di fase e attraverso l’uso di quello che i modellisti matematici definiscono “attrattori”. Ci sono molti esempi di transizioni di fase. Può trattarsi del cambiamento da un flusso liscio “laminare” di un fluido a un flusso turbolento, la transizione dallo stato solido a quello liquido, a quello gassoso o il cambiamento in un sistema da conduttività a “superconduttività”. Queste transizioni di fase possono avere conseguenze cruciali nella progettazione tecnologica e nella costruzione. Un aereo, per esempio, potrebbe perdere portanza se il flusso laminare d’aria sulle ali diventasse turbolento; allo stesso modo, la pressione necessaria per pompare l’acqua dipende dal fatto che il flusso nella conduttura sia turbolento o meno.

L’uso dei diagrammi di fase-scala e degli attrattori rappresenta un altro strumento matematico che ha trovato un vasto campo di applicazioni in sistemi apparentemente casuali. Come nel caso degli altri studi sul caos, c’è stata la scoperta di strutture comuni, in questo caso “attrattori strani”, in una serie di programmi di ricerca tra cui oscillatori elettrici, la dinamica di fluidi e perfino la distribuzione delle stelle in alcuni ammassi globulari.

Tutti questi vari strumenti matematici, raddoppiamento del periodo, geometria dei frattali, attrattori strani, sono stati sviluppati in tempi diversi da ricercatori differenti per studiare le dinamiche caotiche. Ma tutti i loro risultati giungono alla stessa conclusione: c’è una logica matematica sottostante in ciò che prima era considerato essere casuale.

Il matematico Mitchell Feigenbaum, riannodando diversi filoni, ha sviluppato quella che ha definito una “teoria universale” del caos. Come dice Gleick:

Egli credeva che la sua teoria esprimesse una legge naturale sui sistemi, nel punto di transizione tra ordine e turbolenza (…) la sua universalità non era solo qualitativa, era quantitativa (…) si estendeva non solo ai modelli, ma ai numeri precisi.

I marxisti riconoscerebbero qui l’analogia con la legge dialettica della trasformazione della quantità in qualità. Questa idea descrive la transizione tra un periodo di cambiamenti più o meno graduali, quando il cambiamento può essere misurato, “quantificato”, e dopo, quando il cambiamento è così “rivoluzionario”, c’è un tale “salto”, che l’intera “qualità” del sistema ne viene alterata. L’uso che qui Gleick fa dei termini in un certo senso simile è un’altra indicazione del modo in cui la moderna teoria scientifica sta avanzando a tentoni vero il materialismo dialettico. Il punto centrale sulla nuova scienza è che essa ha a che fare con il mondo così come esso è veramente: un sistema dinamico in perenne cambiamento. La matematica lineare classica è come la logica formale che si occupa di categorie fisse e immutabili. Questo va sufficientemente bene come approssimazione, ma non riflette la realtà. La dialettica, invece, è la logica del cambiamento, dei processi e come tale rappresenta un progresso sul formalismo. Alla stessa maniera, la matematica del caos è un passo avanti rispetto alla scienza alquanto “irreale” che ignorava le scomode irregolarità della vita.

Quantità e qualità

L’idea della trasformazione della quantità in qualità è implicita nella moderna matematica che studia continuità e discontinuità. Questo processo era già presente in una nuova branca della geometria, la topologia, inventata agli inizi del secolo dal grande matematico francese Jules Henri Poincaré (1854-1912). La topologia è la matematica della continuità. Come spiega Ian Stewart:

La continuità è lo studio di mutamenti costanti graduali, la scienza dell’ininterrotto. Le discontinuità sono brusche, vistose: luoghi in cui un minuscolo mutamento nella causa produce un mutamento enorme nell’effetto.11

I comuni libri di testo di matematica forniscono un’impressione sbagliata di come il mondo è veramente, di come procede la natura realmente.

L’intuizione matematica che così si sviluppa - scrisse Robert May - è per lo studente uno strumento inadeguato a confrontarsi con il comportamento bizzarro presentato dal più semplice dei sistemi non lineari.12

Mentre la geometria impartita a scuola ci insegna a considerare quadrati, cerchi, triangoli e parallelogrammi come cose del tutto separate, in topologia (“la geometria del foglio di gomma”), essi sono trattati come fossero la stessa cosa. La geometria tradizionale ci insegna che la quadratura del cerchio è impossibile; non così in topologia.

Le rigide linee di demarcazione vengono meno; un quadrato può essere trasformato (“deformato”) in un cerchio. Nonostante gli spettacolari progressi della scienza di questo secolo, è sorprendente notare che un gran numero di quelli che sembrerebbero fenomeni abbastanza semplici non sono compresi in modo appropriato e non si possono esprimere in forma matematica: per esempio, il clima, il flusso dei liquidi, la turbolenza. Le forme della geometria classica sono inadeguate a esprimere la superficie estremamente complessa e irregolare che si trova in natura, come nota Gleick:

La topologia studia le proprietà che rimangono immutate quando si deformano delle figure sottoponendole a torsione, stiramento o compressione. Che una figura sia quadrata o rotonda, grande o piccola, è irrilevante in topologia, poiché lo stiramento può modificare tali proprietà. I topologi chiedono se una forma sia connessa, se abbia dei buchi, se sia aggrovigliata. Essi immaginano superfici non solo negli universi a una, due e tre dimensioni di Euclide, ma anche in spazi di molte dimensioni, impossibili da visualizzare. La topologia è una specie di geometria su fogli di gomma. Essa concerne gli aspetti qualitativi più che quelli quantitativi.13

Le equazioni differenziali si occupano del tasso di cambiamento di posizione. Questo è più difficile e complesso di quanto appaia a prima vista. Molte equazioni differenziali non hanno neanche soluzione. Queste equazioni possono descrivere un movimento, ma solo come leggero cambiamento di posizione, da un punto all’altro, senza salti improvvisi o interruzioni. Ma in natura i cambiamenti non avvengono solo in questo modo. Periodi di lento, graduale, ininterrotto mutamento sono punteggiati da brusche svolte, rotture nella continuità, esplosioni, catastrofi. Questo fatto può essere illustrato da innumerevoli esempi tratti dal mondo organico e inorganico, dalla storia della società e del pensiero umano. Nelle equazioni differenziali si suppone che il tempo sia diviso in una serie di piccolissimi “gradini”. Questo fornisce una approssimazione della realtà, ma nei fatti non esistono questi “gradini”. Come disse Eraclito, “tutto scorre”.

L’incapacità della matematica tradizionale nell’affrontare questioni qualitative viste come opposte ai cambiamenti meramente quantitativi rappresenta una grave limitazione. Entro certi limiti essa può bastare. Ma quando i cambiamenti quantitativi graduali improvvisamente si interrompono e diventano “caotici”, per usare l’espressione corrente, le equazioni lineari della matematica classica non sono sufficienti. Questo è il punto di partenza per la nuova matematica non lineare, le cui basi sono state poste da Benoit Mandelbrot, Edward Lorenz e Mitchell Feigenbaum. Senza saperlo, loro stavano seguendo le orme di Hegel, la cui linea nodale di misura esprimeva la stessa idea, centrale per la dialettica.

Il nuovo atteggiamento verso la matematica si è sviluppato come reazione ai binari morti cui avevano condotto le scuole esistenti. Mandelbrot era stato un membro della scuola francese di formalismo matematico nota come il gruppo di Bourbaki, che sosteneva un approccio puramente formale, che procedesse dai princìpi e deducesse ogni cosa da questi. Essi erano veramente fieri del fatto che il loro lavoro non aveva niente a che fare con la scienza o il mondo reale. Ma l’avvento dei computer ha introdotto un elemento completamente nuovo nella situazione. È un altro esempio di come lo sviluppo della tecnica condiziona quello della scienza. L’enorme numero di calcoli che si poteva compiere spingendo un bottone rese possibile la scoperta di strutture e regolarità dove prima sembravano regnare solo il caso e fenomeni caotici.

Mandelbrot cominciò studiando fenomeni inspiegati del mondo naturale, come le scariche, apparentemente casuali, di interferenza nelle trasmissioni radio, gli straripamenti del Nilo e le crisi delle borse valori. Capì che la matematica tradizionale non poteva adeguatamente trattare questi fenomeni.

Studiando l’infinito, nell’ultimo secolo, George Cantor creò l’insieme che porta da allora il suo nome. Questo implica una linea divisa in un numero infinito di punti (la “polvere” di Cantor) la cui lunghezza totale è zero. Una contraddizione così evidente irritò molti matematici del secolo XIX, ma servì come punto di partenza per la nuova teoria di Mandelbrot sulla matematica frattale, che ha giocato un ruolo chiave nella teoria del caos:

Discontinuità, scariche di rumori, polveri di Cantor: fenomeni come questi non avevano avuto posto nelle geometrie degli ultimi duemila anni. Le forme della geometria classica sono linee e piani, cerchi e sfere, triangoli e coni. Esse rappresentano una potente astrazione dalla realtà e ispirarono la potente filosofia platonica dell’armonia. Euclide costruì con esse una geometria durata due millenni, l’unica geometria che impara ancor oggi la maggior parte delle persone. Gli artisti trovarono in tali forme una bellezza ideale, gli astronomi tolemaici costruirono su di esse una teoria dell’universo. Ma, per la comprensione della complessità, esse risultano essere il tipo di astrazione sbagliato.14

Tutta la scienza comporta un grado di astrazione dal mondo reale. Il problema con le misure euclidee classiche, che si occupano di lunghezza, profondità e larghezza, è che esse non catturano l’essenza delle forme irregolari che si trovano nella realtà. La matematica è la scienza della grandezza. Le astrazioni della geometria euclidea quindi lasciano da parte tutto tranne il lato quantitativo delle cose. La realtà è ridotta a piani, linee e punti. Queste astrazioni, nonostante le esagerazioni fatte su di loro, rimangono solo una rozza approssimazione del mondo reale, con le sue forme irregolari e i cambiamenti costanti e improvvisi. Nelle parole del famoso poeta latino Orazio: “Puoi cacciare la natura con un forcone, essa tornerà sempre indietro”. James Gleick descrive la differenza tra la matematica classica e la teoria del caos con le seguenti parole:

Le nuvole non sono sfere, ama dire Mandelbrot. Le montagne non sono coni. Il fulmine non si propaga in linea retta. La nuova geometria riflette un universo che è irregolare, non arrotondato; scabro, non liscio. È una geometria del bucherellato, butterato e rotto, del contorto, aggrovigliato e intrecciato. Per comprendere la complessità della natura era necessario che prendesse forma il sospetto che la complessità non fosse solo qualcosa di casuale, di accidentale. Si doveva credere che l'aspetto interessante nella traiettoria di un fulmine, per esempio, non fosse la sua direzione, ma piuttosto la distribuzione degli zigzag. L’opera di Mandelbrot fece un’affermazione sul mondo, e l’affermazione fu che tali strane forme avevano un significato. I buchi e i grovigli non sono solo imperfezioni che distorcono le forme classiche della geometria euclidea. Sono spesso le chiavi dell’essenza di una cosa.15

Queste cose erano viste dai matematici tradizionali come mostruose aberrazioni. Ma per un dialettico, suggeriscono che l’unità di finito e infinito, come la divisibilità infinita della materia, possa trovare un’espressione in termini matematici. L’infinito esiste in natura. L’universo ha dimensioni infinite. La materia può essere divisa in particelle di dimensione infinitamente piccola. Perciò ogni discussione sull’“inizio dell’universo” e la ricerca dei “mattoni della materia” e delle “particelle finali” si basa su presupposti del tutto scorretti. L’esistenza dell’infinito matematico è una mera riflessione di questo fatto.

Allo stesso tempo è una contraddizione dialettica che l’universo infinito sia composto di corpi finiti. Così, finito e infinito formano un’unità dialettica degli opposti. L’uno non può esistere senza l’altro. La questione non è dunque se l’universo sia finito o infinito; è sia finito che infinito, come aveva spiegato Hegel molto tempo fa.

I progressi della scienza moderna ci hanno permesso di penetrare sempre più a fondo nel mondo della materia. A ogni stadio, si è fatto un tentativo di “dare un altolà”, di erigere barriere, oltre le quali non sarebbe stato possibile andare. Ma a ogni stadio, il limite è stato superato, rivelando nuovi straordinari fenomeni. Ogni nuovo e più potente acceleratore di particelle ha svelato nuove e più piccole particelle che esistono in scale di tempo sempre più minuscole. Non c’è ragione di supporre che la situazione sarà diversa con i quark, che attualmente vengono presentati come le particelle ultime.

Similmente il tentativo di stabilire l’inizio dell’universo e del “tempo” risulterà un’impresa disperata. Non ci sono limiti all’universo materiale e tutti gli sforzi di imporne fallirà inevitabilmente. La cosa più incoraggiante della nuova matematica della teoria del caos è che rappresenta un rifiuto delle sterili astrazioni e del riduzionismo e un tentativo di tornare verso la natura e il mondo dell’esperienza quotidiana. E nella misura in cui la matematica riflette la natura, comincia a perdere il suo carattere unilaterale e acquista una dimensione tutta nuova che esprime il carattere dinamico, contraddittorio, in una parola, dialettico del mondo.